Информационные технологии

Постоянные ренты

Мы рассматривали простейший финансовый поток: {-P, S} или {Р, -S}. Теперь рассмотрим схему с многократными взносами или выплатами.

Р — современное значение, S — будущее значение, R — периодическая выплата, r — процентная ставка за период, n — количество периодов, type — тип ренты, если type = 0 или опущен, то рента постнумерандо (выплата в конце периода), если type = 1, то рента пренумерандо (выплата в начале периода).

В Excel для расчета постоянных рент используются следующие основные финансовые функции:

Функция	Синтаксис функции
Приведенная (нынешняя) стоимость (ПС)	ПС(ставка,кпер,плата,бс,тип)
Будущая стоимость (БС)	БС(ставка,кпер,плата,пс,тип)
Плата (ПЛТ)	ПЛТ(ставка,кпер,пс,бс,тип) = ОСПЛТ+ПРПЛТ
Количество периодов (КПЕР)	КПЕР(ставка, плата, пс, бс, тип)
СТАВКА	СТАВКА(кпер,плата,пс,бс,тип,предположение)

Функция ПС возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиции. Приведенная (нынешняя) стоимость представляет собой общую сумму, которая на данный момент равноценна ряду будущих выплат. Например, в момент займа его сумма является приведенной (нынешней) стоимостью для заимодавца.

Аргументы функции ПС:

Ставка     — процентная ставка за период. Например, если получена ссуда на автомобиль под 10 процентов годовых и выплаты производятся ежемесячно, процентная ставка за месяц составит 10%/12 или 0,83%. В качестве значения аргумента «ставка» нужно ввести в формулу 10%/12, 0,83% или 0,0083.

Кпер     — общее число периодов платежей по аннуитету. Например, если получена ссуда на 4 года на покупку автомобиля и платежи производятся ежемесячно, то ссуда имеет 4*12 (или 48) периодов. В качестве значения аргумента «кпер» в формулу нужно ввести число 48.

Плт     — выплата, производимая в каждый период и не меняющаяся на протяжении всего периода ренты. Например, ежемесячная выплата по четырехгодичному займу в 10 000р. под 12 процентов годовых составит 263,33р. В качестве значения аргумента «выплата» нужно ввести в формулу число -263,33.

Бс     — требуемое значение будущей стоимости или остатка средств после последней выплаты. Если аргумент опущен, он полагается равным 0 (будущая стоимость займа, например, равна 0). Предположим, что требуется накопить 50 000р. для оплаты специального проекта в течение 18 лет: в этом случае будущая стоимость равна 50 000р. Затем, предположив, что заданная процентная ставка останется без изменений, можно определить, какую сумму необходимо откладывать каждый месяц.

Тип     — число 0 или 1, обозначающее срок выплаты.

Замечания

• Убедитесь, что единицы измерения, выбранные для аргументов «ставка» и «кпер», соответствуют друг другу. Например, если производятся ежемесячные выплаты по четырехгодичному займу из расчета 12 процентов годовых, используйте значение12%/12 для задания аргумента «ставка» и 4*12 — для аргумента «кпер». Если платежи по тому же займу производятся ежегодно, используйте значение 12% для аргумента «ставка» и 4 — для аргумента «кпер».

Пример 1.

На счет в банке вносится сумма 10 000 долл. в течение 10 лет равными долями по 1000 долл. в конце каждого года. Годовая ставка 4%. Какая будет сумма на счете после 10 лет?

Решение. Применим функцию БС(ставка, число периодов, платеж, первоначальная стоимость, тип). Платежи осуществляются в конце периодов (рента постнумерандо), поэтому тип = 0 (или его можно опустить). Формула =БC(4%,10,-1000) (аргументы первоначальная стоимость и тип необязательны, и мы их опустили). Результат: $12 006.11. Если же сумма вносится в начале года (рента пренумерандо), то формула принимает вид: =БС(4%,10,-1000,,1). Результат, естественно, получается выше: $12 486.35. Разность между этими двумя значениями можно вычислить как =БС(4%,10,0,-1000)-1000. Подумайте почему.

Пример 2.

Теперь рассмотрим задачу: как по будущему значению определить современное значение.

Вексель на 3 000 000 руб. с годовой учетной ставкой 10% с дисконтированием два раза в год выдан на два года. Найти исходную сумму, выданную под этот вексель.

Решение. Воспользуемся функцией ПС — приведенная (современная) стоимость. Синтаксис функции ПС:

ПС(ставка, количество_периодов, выплата, будущая_стоимость, тип).

В нашем случае задача осложняется тем, что задана ставка дисконта, а аргумент «ставка» подразумевает процентную ставку. Поэтому предварительно нужно пересчитать дисконтную ставку в процентную. Ниже приведена таблица, решающая задачу.

Параметр	Значение	Пояснение
d	10%	Годовая учетная (дисконтная) ставка
n	2	Количество периодов в год
k	2	Количество лет
dp	5%	Учетная (дисконтная)ставка за период =d/n
Ставка	5,26%	Процентная ставка за период =dp/(1-dp)
Кпер	4	Количество периодов =n*k
плт	0	Платеж, производимый каждый период
Бс	-3 000 000,00р.	Будущая стоимость
Пс	2 443 518,75р.	Приведенная стоимость =Пс(Ставка;Кпер;;Бс)

Пример 3.

Теперь обратимся к задаче определения продолжительности ссуды при заданных начальном и будущем значениях, процентной ставке. За какой срок в годах сумма, равная 75 000 долл., достигнет 200 000 долл. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в году и поквартально.

Решение. Воспользуемся функцией КПЕР(ставка, выплата , начальное значение, будущее значение,тип). Решение дается формулами: раз в год =КПЕР(15%,0,-75,200)    (=7.01786); по кварталам =КПЕР(15%/4,0,-75,200)/4  (=6.66071) Обратите внимание, что во втором случае КПЕР возвращает количество кварталов, поэтому, чтобы пересчитать их в годы, нужно поделить возвращаемый результат на 4. И еще: нет никакой необходимости набирать все нули в современной и будущей сумме — достаточно сохранить между ними пропорциональность. Перевести полученные результаты из дробного числа лет в число лет и дней.

Пример 4.

Представляет интерес и такая задача: как, зная современное и будущее значение суммы, а также периодические равные выплаты, вычислить процентную ставку. Эту задачу решает функция СТАВКА(количество_периодов, выплата, начальное_значение, будущее_значение, тип, предположение). Функция возвращает процентную ставку за один период. «Предположение» по умолчанию составляет 10%. Пусть в долг на полтора года дана сумма 2000 долл. с условием возврата 3000 долл. Вычислить годовую процентную ставку. Решение. =СТАВКА(1,5;;2000;-3000). Результат: 31%.

Пример 5.

Выдан кредит 200 000 долл. на два с половиной года. Проценты начисляются раз в полгода. Определить величину процентной ставки за период, если известно, что возврат составит 260 000 долл. Решение. =СТАВКА(2,5*2;;200000;-260000). Результат: 5.39%.

Но так как в договорах часто указывается именно годовая ставка, даже если период меньше года, то полученный результат следует обработать функцией НОМИНАЛ(ставка для периода, количество периодов в году). По заданной ставке для периода эта функция возвращает эквивалентную годовую ставку. Решение: =НОМИНАЛ(5.39%,2). Результат: 5.32%.

Пример 6.

С функцией НОМИНАЛ тесно связана функция ЭФФЕКТ(номинальная ставка, количество периодов в году). По заданной годовой ставке эта функция возвращает ставку для периода. Чтобы лучше уяснить понятия номинальной и эффективной ставок, рассмотрим следующий любопытный пример.

Чему равна эффективная ставка: 1) при номинальной ставке 100% и начислении 10 000 000 раз в год, 2) при ежедневном начислении?

Решение. =ЭФФЕКТ(1;10000000) (=1.718); =ЭФФЕКТ(1;365) (=1.714). Как видим, ответы получились очень близки. А чему равен коэффициент наращения? =БС(1/365;365;;-1)  (=2.714). Нетрудно догадаться, что перед нами десятичное приближение числа е — основания натуральных логарифмов. Оно получается как "второй замечательный предел" при схеме непрерывного начисления процентов, часто применяемой в теоретических исследованиях.